鬼谷子算的几种解法 (第2/2页)

，他就可以说“但是我肯定你也不知道这两个

    数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是合数（必是一偶一

    奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2，我们上面的步骤已经保

    证奇的那个是合数），也就是S只能拆成

    a)S=2 a*b或b)S=a 2^n*b

    这两个样子，其中a和b都是奇数，n>=1。

    那么（下面我说的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些

    数都小于100）的理由我就不写了，根据条件很显然）

    a)或者孙的M=2*a*b，孙就会在(2*a,b)和(2,a*b)至少两组数里拿不定主意（a和

    b都是奇数，所以这两组数一定不同）；

    b)或者M=2^n*a*b，

    如果n>1，那么孙就会在(2^(n1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少两组数里拿不定主意；

    如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在(2*a,b)和(2b,a)至少两组数里拿不定主

    意；

    如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a 2*a=3a，所以S一定是3的倍数，我们只要

    讨论S=27就可以了。27如果被拆成了S=9 18，那么孙拿到的M=9*18，他就会在

    (9，1和(27,6)至少两组数里拿不定主意。

    （上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的论证是否

    过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么烦）

    现在我们知道，当且仅当庞得到的和数S在

    C={11,17,23,27,29,35,37,41,47,53}

    中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数

    是什么”这句话

    孙膑可以和我们得到同样的结论，他还比我们多知道那个M。

    4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，然后组合成

    关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且仅有一个猜想的和在C中。否则的话，他

    还是会在多个猜想之间拿不定主意。

    庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。

    5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后，也得到了

    关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在所有这些拆法中，只有一种满足4)里的

    条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那两个数来。

    于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n p的S，其中n>1，p为素数。

    因为如果S=2^n1 p1=2^n2 p2，无论是(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况，孙膑都

    可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2来断定出正确的结果，因为由M得到的各种两数组合，

    只有(2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在C中，于是孙膑就可以宣布自己知道

    了是怎么回事，可庞涓却还得为(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况犯愁。

    因为11=4 7=8 3，23=4 19=16 7，27=4 23=16 11，35=4 31=16 19，37=8 29=32 5，

    47=4 43=16 31。于是S的可能值只能在

    17294153

    中。让我们继续缩小这个表。

    29不可能，因为29=2 27=4 25。无论是(2,27)和(4,25)，孙膑都可以正确判断出来：

    a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那么孙可以猜的组合是(2,27)(3,1(6,9)，

    后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。

    b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那么孙可以猜的组合是(2,50)(4,25)(5,20)

    (10,10)。只有(4,25)的S才在C中。

    可是庞涓却要为孙膑的M到底是2*27还是4*25苦恼。

    41不可能，因为41=4 37=10 31。后面推理略。

    53不可能，因为53=6 47=16 37。后面推理略。

    研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法：

    (2,15)：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6 5=11也在C中，所以一定不是这个M，否则4)

    的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两个数字了”的话说不出来。

    (3,14)：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2 21=23也在C中。后面推理略。

    (4,13)：那么M=4*13=2*2*13。那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)

    的和在C中，所以这种情况孙膑可以说4)中的话。

    (5,12)：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3 20=23也在C中。后面推理略。

    (6,11)：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2 33=35也在C中。后面推理略。

    (7,10)：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2 35=37也在C中。后面推理略。

    (8,9)：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3 24=27也在C中。后面推理略。

    于是在S=17时，只有(4,13)这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既然如此，庞涓就知道这两个数是什么，说出“我现在也知道这两个数字是什么了”。听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。